Formule et méthode du PGCD

Formule principale

PGCD(a, b) permet de calculer le plus grand commun diviseur de deux entiers. La sortie correspond à « PGCD ».

Pourquoi cette relation fonctionne

Le PGCD conserve le plus grand entier divisant exactement toutes les valeurs saisies ; l’algorithme d’Euclide le retrouve par divisions successives. Cette fiche applique précisément ce principe à « Formule et méthode du PGCD ».

Contrôle des unités : Pour « Formule et méthode du PGCD » — entrées : Entier A, Entier B et Entier C. Sortie : PGCD. Vérifiez que les grandeurs combinées restent compatibles avec la relation affichée.

Domaine : La fiche « Formule et méthode du PGCD » s’applique pour obtenir PGCD à partir de entier A, entier B et entier C. Les valeurs attendues sont des entiers ; une décimale change la nature du problème. Les grandeurs absentes des variables ne sont pas déduites automatiquement.

Variables et unités

Entier A

Variable « Entier A » remplacée dans la formule à l’étape 1.

Entier B

Variable « Entier B » remplacée dans la formule à l’étape 2.

Entier C

Variable « Entier C » remplacée dans la formule à l’étape 3.

Conditions d’application

• Les valeurs attendues sont des entiers ; une décimale change la nature du problème.
• Pour une combinaison ou une permutation, k doit rester compris entre 0 et n.
• La sortie est sans unité ou suit la convention explicitée par la formule.

Contrôles rapides

• Le cas témoin « PGCD(48,18) » doit produire 6.
• Une variation de entier A doit modifier « PGCD » dans le sens expliqué par la formule.
• Le résultat ne doit recevoir aucune unité qui ne découle pas de la formule.

Justification et portée

Invariant de l’algorithme d’Euclide

Si a = bq + r, tout diviseur commun de a et b divise aussi r = a − bq. Réciproquement, tout diviseur commun de b et r divise a. Les couples (a,b) et (b,r) ont donc le même PGCD. Répéter cette transformation jusqu’au reste nul justifie l’algorithme d’Euclide.

Identités de contrôle

• PGCD(a,b) = PGCD(b,a mod b)
• Le dernier reste non nul est le PGCD
• Le PGCD divise exactement les deux entrées

Variantes et usages

• Définition simple
• Formule et variables
• Variantes utiles
• Exemples vérifiés
• Questions “combien ?”
• Erreurs fréquentes
• Limites et sources

Réponses pratiques

Erreurs fréquentes avec cette formule

• Associer une valeur au mauvais champ entre entier A et entier B.
• Ne pas respecter les parenthèses ou la priorité des opérations.
• Arrondir une étape intermédiaire puis réutiliser cette valeur pour calculer PGCD.
• Associer une valeur au mauvais champ, notamment « Entier A », « Entier B » et « Entier C ».
• Arrondir une valeur intermédiaire avant d’obtenir « PGCD ».

Quand utiliser cette formule ?

• Calculer pgcd à partir de entier a et entier b.
• Comparer des scénarios en modifiant une donnée de « PGCD(a, b) » à la fois.
• Reproduire « PGCD(48,18) = 6 » pour vérifier un autre outil.

Exemples de contrôle

Ces exemples permettent de vérifier la formule avant de l’appliquer à un autre cas.

En remplaçant les variables par « PGCD(48,18) », la formule donne 6. Le résultat peut être contrôlé en refaisant l’opération inverse ou en remplaçant les valeurs dans la relation affichée.

Limites

• La relation « PGCD(a, b) » répond uniquement au problème décrit par cette page.
• La précision de PGCD dépend des valeurs saisies et de leur arrondi.
• Pour un usage critique, refaites le calcul avec une méthode indépendante.

La relation « PGCD(a, b) » transforme entier A, entier B et entier C en « PGCD ». Sa lecture suppose de respecter le domaine numérique et la précision annoncés. Avec « PGCD(48,18) », la valeur attendue est 6.

Calculatrice liée

Calculez le plus grand commun diviseur de deux entiers. La formule, le domaine numérique, un exemple et une méthode de contrôle sont expliqués.

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